lunes, 16 de junio de 2008

HISTORIA Y SIGNIFICADO DE LA LOGICA Y EL ALGEBRA

HISTORIA Y SIGNIFICADO DE LA LOGICA Y EL ALGEBRA
El nombre de lógica, se deriva de la palabra griega “logos”, que tiene múltiples y diversas acepciones, las cuales nos pueden servir para hacernos una idea del objeto de estudio de la lógica.
El término “logos” un griego lo podía emplear en diversos contextos y con diversas significaciones, por ello, se puede traducir en el sentido de palabra, dicho; también se puede entender como proposición, definición; en una tercera acepción se puede emplear como aserto, afirmación, así como palabra divina, revelación; al igual que fama, discurso, conversación, trato, negociación, discusión, argumento, razonamiento, relato, narración, fábula, historia, tradición histórica, facultad de razonar, juicio, buen sentido, razón de las cosas, motivo, causa, ley, aprecio, concepto, estimación, pensamiento, cuidado, relación, proporción, analogía1.
Estas y muchas otras son las significaciones que para un griego tenía la palabra logos, y en todas ellas de alguna manera se refleja la esencia de la lógica. A pesar de ello, vale la pena precisar que la disciplina lógica, es decir, el estudio de la lógica, es aquello que se denominaría en griego “logiké epistéme”, que puede ser traducida y entendida como "ciencia del pensar". En este sentido entendemos la lógica como la reflexión filosófica que indaga por los principios últimos y primeros del pensar, así como por las leyes que hacen posible un pensamiento coherente, sin fisuras, consistente o que puede explicar las inconsistencias; al igual que las formas en las cuales se manifiesta y se hace posible el pensamiento.
Tradicionalmente, la lógica es "el estudio de las condiciones de la verdad". De hecho, hoy día, es mucho más: una verdadera ciencia, cuyo objeto es el estudio sistemático de las condiciones por las cuales un enunciado puede o no ser considerado coherente, dotado o no de sentido y susceptible o no de verificación. La lógica no se ocupa del contenido de los enunciados, sino que indica si estos son o no exactos. Los logicistas disertan sobre si los enunciados son admisibles desde el punto de vista formal, es decir si las reglas que permiten el razonamiento son correctamente observadas.
Las reglas de la lógica difieren de las de la gramática y las de la sintaxis. Es así, comenta el filósofo británico Alfred J. Ayer (Language, Truth and Logic), que ciertos enunciados, gramaticalmente correctos, son "de una modestia excesiva". "Si yo aprendo, por ejemplo –precisa–, que los leones son o no son carnívoros, sé algo verdadero, pero ignoro completamente si me arriesgo a ser comido".
La lógica antigua, legada por Aristóteles, se apoyaba en tres principios simples: el principio de identidad (A = A), el principio de exclusión (no-A no es igual a A) y el principio de contradicción (un mismo concepto no puede ser definido simultáneamente como A y como no-A). Estos principios son declarados verdaderos a priori, en todo tiempo y lugar, es decir, que preexisten al razonamiento humano. Así se introduce en el pensamiento europeo la distinción entre verdades de experiencia, fruto de la observación de la realidad física, y verdades formales, deducidas de la reflexión intelectual de ciertas leyes eternas, las "nociones comunes" de Aristóteles o los "principios evidentes" de Descartes.
Situada en el punto de intersección de la ciencia, la filosofía y el análisis del lenguaje, la lógica moderna rompe completamente con esta doctrina de Aristóteles.
Se puede situar perfectamente la ruptura entre lo que el logicista alemán Rudolf Carnap denominó "lógica antigua y nueva lógica" en el año 1850, año en que "la lógica escapó de la filosofía para ponerse en manos de la matemática". Según Blanché, los orígenes de la lógica moderna se remontan a Leibniz, cuando no a los presocráticos.
La evolución de la lógica siguió a la de la física y a la de las ciencias de la vida. Blanché ha dibujado el mapa de sus diferentes etapas. A la lógica de Aristóteles siguió la de los estoicos, semejante a una dialéctica; después la lógica medieval, ilustrada por Tomás de Aquino en la célebre querella de los universales. La lógica de Port-Royal, en 1662, encarna el espíritu jansenista y cartesiano. Leibniz, quien descubrió al mismo tiempo que Newton las bases del cálculo diferencial, imagina el sistema de "mónadas". Paralelamente, las bases del empirismo clásico son asentadas por Francis Bacon, David Hume y John Locke, continuados por Stuard Mill.
La lógica, bajo todas sus formas, interfiere con la matemática. Bertrand Russel ve en la lógica la esencia misma de la filosofía. Un enunciado sería verdadero en la medida en que "formule un número infinito de hipótesis eventualmente aplicables al análisis de no importa qué hecho complejo". Pero también se puede pensar, a la inversa, que la lógica no pertenece a la filosofía, en la medida en que escapa a las reflexiones puramente especulativas, que es lo que permite conservar a la filosofía su rol tradicional de elaboración de visiones del mundo a través de las cuales el hombre interpreta en universo.
El Álgebra es la rama de la matemática que tiene por objeto de estudio la generalización del cálculo aritmético mediante expresiones compuestas de constantes (números) y variables (letras). Etimológicamente, proviene del árabe (también nombrado por los árabes Amucabala)جبر (yebr) (al-dejaber), con el significado de reducción, operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).El álgebra tuvo sus primeros avances en las civilizaciones de Babilonia y Egipto, entre el cuarto y tercer milenio antes de Cristo. Estas civilizaciones usaban primordialmente el álgebra para resolver ecuaciones de primer de y segundo orden.El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el teorema de Pitágoras. Los matemáticos más destacados en este tiempo fueron Arquímedes, Herón y Diofante. Arquímedes se basó en la matemática para componer sus tratados de física y geometría del espacio. Herón fue otro que se basó en ellas para hacer algunos de sus inventos, como la primera máquina de vapor. Diofante fue el griego que más contribuyó a esta área del conocimiento; como principales trabajos tenemos al análisis diofántico y la obra Las Aritméticas, que recopila todo el conocimiento del álgebra existente hasta ese entonces.Como consecuencia, el álgebra cambió de rumbo y amplió su dominio a todas las teorías que se habían inventado alrededor del tema inicial, incorporando las teorías de los grupos matemáticos y sus extensiones,y parte de la geometría, la rama relacionada con los polinomios de segundo grado de dos variables, es decir las cónicas elipse, parábola, hipérbola, círculo, ahora incluidas en el álgebra bileneal.El álgebra se fundió con éxito con otras ramas de la matemática como la lógica (álgebra de Boole), el análisis matemático y la topología (álgebra topológica).

Las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole , constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital. Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas. En el nivel de lógica digital de una computadora, lo que comúnmente se llama hardware, y que está formado por los componentes electrónicos de la máquina, se trabaja con diferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel. Éstas funciones, en la etapa de diseña del hardware, son interpretadas como funciones de boole. En el presente trabajo se intenta dar una definición de lo que es un álgebra de boole; se tratan las funciones booleanas,haciendo una correlación con las fórmulas proposicionales. Asimismo, se plantean dos formas canónicas de las funciones booleanas, que son útiles para varios propósitos, tales como el de determinar si dos expresiones representan o no la misma función. Pero para otros propósitos son a menudo engorrosas, por tener más operaciones que las necesarias. Particularmente, cuando estamos construyendo los circuitos electrónicos con que implementar funciones booleanas, el problema de determinar una expresión mínima para una función es a menudo crucial. No resultan de la misma eficiencia en dinero y tiempo, principalmente, dos funciones las cuales calculan lo mismo pero donde una tiene menos variables y lo hace en menor tiempo. Como solución a este problema, se plantea un método de simplificación, que hace uso de unos diagramas especiales llamados mapas o diagramas de Karnaugh, y el cual tiene la limitación de poder trabajar adecuadamente sólo con pocas variables.Se realizan estas presentaciones con el fin de demostrar la afinidad existente entre el álgebra de boole y la lógica proposicional, y con el objeto de cimentar el procedimiento de simplificación presentado en la lógica de proposiciones.

1 comentario:

Martha Cecilia Mosquera Urrutia dijo...

Hola David:
Tu trabajo está interesante pero la lectura es un poco densa, procura explicar algunos vínculos y motivar con elgunas ilustraciones a los lectores interesados en seguir estas rutas...
Maestra: Martha Mosquera